Maths 1 équation aux dérivées partielles

Un petit exo de calcul diff pour sortir un peu de la monotonie.

1) Montrer que U=R+* x R est un ouvert
2) Résoudre dans U l'équation xdf/dx + ydf/dy = x/y

Pour la première question j'allais commencer à démontrer, mais l'examinateur m'a dit de faire juste un dessin et expliquer à l'oral comment j'allais faire, donc j'ai dit qu'autour d'un point de U on pouvait toujours trouver une petite boule incluse dans U et il était content.

Pour résoudre l'équation, il m'a demandé comment je comptais faire, je lui ai donné la seule méthode que je connaissais, c'est-à-dire changement de variable en polaire, et comme c'était la bonne réponse ensuite il y avait juste à calculer, après quelques erreurs de calculs tout se passait bien, on trouvait une équation très simple suivant r seulement et en intégrant on avait quelque chose de la forme
g(r,Θ)= une fonction connue de r + h(Θ), que l'on pouvait ré-exprimer en fonction de x et y.

L'oral s'est terminé là, il m'a juste demandé à la fin pourquoi h(Θ) était C1 (et j'ignorais la réponse, j'ai dit que c'était parce que g était C1 mais ce n'était pas ça).