Maths 2 08/07

On pose fn(x)=-a0 + Somme(1 à n) ak.xk avec a0, a1>0 ; (an) dans (R+)^n

1. Montrer que pour tout n, fn possède une unique racine sur R+* qu'on notera Un
2. Cas où an=n+1
a. Python : Tracer les fn pour n dans {1,...,7}. Représenter les abscisses. Conjecture ?
b. Démontrer la conjecture.
c. Ecrire fn sans la sommation (donner une expression de fn sous la forme d'un quotient de polynômes). En déduire la limite de Un
3. Cas général : que peut-on dire de Un ?
4. Limite de Un dans le cas où an : n!

Solutions
1. tableau de variation...
2. a. (Un) converge.
b. La suite étant minorée, il suffit de montrer qu'elle est décroissante.
c. L'expression se trouve facilement car on peut voir la somme comme la dérivée d'une série géométrique. Après avoir négligé les termes en Un^n et Un^(n+1) (ou un truc comme ça), on arrive à un trinôme du second degré qu'il faut mettre sous la forme canonique (je ne savais plus ce que c'était bien entendu...) Bref on trouve l=1-1/sqrt(2) (à vérifier sur les graphes obtenus)
3. Même méthode de 2b, raisonnement par l'absurde. (Un) est décroissante donc converge.
4. J'étais un peu lente donc je n'ai pas eu le temps de la faire...