Maths 1 09/07

Proba et récurrence d'ordre 2

Deux écoliers A et B possèdent N billes : A en possède n et B N-n.
A chaque partie de jeu, le vainqueur gagne une bille. A gagne avec une probabilité p.
Le victorieux est celui qui possède les N billes.
On note an la probabilité que A soit victorieux. Calculer an.

Solution :
On trouve une expression de a(n+1) en fonction de an et de a(n-1), mais je ne savais plus comment résoudre une récurrence d'ordre 2 avec l'équation caractéristique et tout ça. L'examinateur m'a donc demandé de caractériser l'ensemble des suites vérifiant la récurrence (espace vectoriel de dimension 2) et de trouver "des types de suites faciles" pour en former une base. On peut facilement vérifier que les suites constantes appartiennent à l'ensemble, par contre je ne sais pas du tout quelle suite on pourrait prendre pour le second élément de la base...

Bref, l'exercice aurait été facile si j'avais connu mon cours de sup, on aurait pu ne pas passer par toute cette histoire d'espace vectoriel et de base.
Il y avait une deuxième question après, sans doute en lien avec l'espérance...