Maths 1 : intégrale a paramètre et équadiff

Soit f(x)=intégrale de 0 a +l'infini de t*e^(-t²)/(x+t²)
1)Déterminer l'équadiff vérifiée par f
2)Tracer le tableau de variation de f

Bon on a une intégrale a paramètre. Rien de bien original... on montre d'abord que l'intégrale est bien défini (sauf en 0), pas de problème particulier, on utilise Riemann. Ensuite on utilise le théoreme de convergence dominée pour montrer qu'elle est bien dérivable.
Pour l'équadiff, on fait une IPP, et on obtient f'-f=1/(2x)
Ensuite on résout l'équation homogène, et on fait une variation de la constante pour la solution particulière.

Y'avait pas de grosses difficultés, juste c'est relativement long toutes les justifications du début, et l'examinateur me demandait à chaque fois des précisions sur mes hypothèses (je dis par exemple que e^(-t²)/t^3 est intégrable en + l'infini par Riemann, et il me dit que ça suffit pas, il faut que je majore par 1/t^3 qui est intégrable), ce qui fait qu'en 30 minutes j'ai du passer les 20 premières à simplement justifier que l'énoncé avait un sens avant de pouvoir m'interesser à l'équadiff. Je suis arrivé jusqu'à la variation de la constante, mais j'ai pas pu continuer et tracer le tableau de variation, mon temps étant écoulé. L'oral s'est globalement bien passé puisque je n'ai pas eu besoin de l'aide de l'examinateur, simplement j'aurai pu etre peut etre plus rapide, et plus rigoureux peut être lors de l'étude la fonction.