Maths 1 : analyse

Pas très dur mais assez perturbant ... Examinateur hyper gentil, qui m'a quasiment trop aidée.

Soit f continue de [0,1] dans R.
On considère l'application :
Phi(f)->intégrale entre 0 et x de f(t)dt.

1) Montrer que phi^n=intégrale entre 0 et x de f(t)*(x-t)^(n-1)/(n-1)!
avec phi^n=phiophio...ophi.
2) Étudier les convergences de la série des phi^n.
3) pas traité ...

Solutions
1) Phi est la primitive de f qui s'annule en 0. Plein de questions chiantes sur les hypothèses comme "pourquoi il existe une primitive ?" (fonction continue) etc.
Donc phiophi est la primitive de la primitive. Comme il me dit que ça va donner un truc dégueu, on doit faire autrement que par récurrence.
Du coup je dis que ça me fait penser à Taylor reste intégral, donc j'écris la formule générale et en fait on l'applique à phi^n puisque quand on dérive on perd à chaque fois une puissance de phi. La partie avec la somme s'en va (toutes les dérivées sont nulles en 0) et c'est bon (phi^0=f).

2) J'ai voulu étudier d'abord la convergence simple. Pour ça il a fallu échanger somme et intégrale et du coup j'ai utilisé le théorème de sommation L1 mais "à l'envers" (on veut échanger somme et intégrale, pas intégrale et somme mais en soi ça change rien) du coup j'ai eu plein de questions de continuité, convergence simple, uniforme etc. En fin de compte on échange, ça donne de l'exponentielle donc on a la valeur de la somme.
Après il me fait "pour la convergence normale on majore ça" et donc je termine sa phrase pour qu'il voie que je sais faire et il me dit d'effacer.