Physique 2 : corde d'un piano

L'exo reprenait exactement l'étude d'une corde frappée à laquelle on donne une vitesse initiale ! C'était comme dans le cours de BM donc ça m'a bien aidé.

1) Montrer que la tension est uniforme.
2) Redémontrer d'Alembert.

Bon, là, il faut reprendre la démonstration de d'Alembert comme dans le cours. Je me suis un peu perdue au tableau en écrivant deux trois bêtises à cause du stress...

On considère une solution de la forme phi(x)=f(x)cos(wt)

3) Trouver f(x).
4) Montrer que on a une quantification de w.
5) Représenter les modes 1,2,3.

On injecte dans d'Alembert, on trouve une équa diff sur f. On la résout et en utilisant les conditions aux limites : f(0)=0 et f(L)=0 on trouve que w est quantifié.
Il m'a posé deux trois questions sur la représentation des modes comme par exemple d'indiquer ou se trouve lambda.

On considère que phi(x)= somme (bn sin(n*pi/L x) sin(n*pi*c/L t))

6) Trouver l'expression de la vitesse.

La je lui ai juste dit : on dérive terme à terme et il était content, j'ai pas trop justifier...

7) Montrer que l'on peut donner l'expression des bn en décomposant en série de Fourier une fonction.
8 ) Trouver phi.

L'expression de la vitesse initiale correspond à une vitesse nulle sauf sur un intervalle de longueur 2*epsilon centré en a (point d'impact) où la vitesse vaut u. On rend la fonction impaire et on la périodise sur R (période 2L). On la décompose en série de fourier. L'expression pour déterminer les coef de la décomposition était donné ! Il fallait juste faire le calcul. Je me suis un peu perdue mais j'arrive au résultat. Il faut ensuite faire des DL mais comme je les avais pas fait en préparation, l'examinateur a été cool et au bout d'un moment, il m'a donné le résultat. Ensuite, par unicité de la décomposition en série de fourier, comme on a l'expression de la vitesse initiale, on en déduit bn.

9) Montrer que en tapant à certains endroits, on peut supprimer des harmoniques.

On pouvait faire des petits test avec un logiciel : on rentrait le point d'impact et ça nous donnait les harmoniques et le signal.

Je me suis rappelé ce qu'avait dit BM : en tapant en L/n, on élimine le n-ième harmonique. Je dis ça et l'examinateur me dit montre le. En fait il suffit de remplacer a par L/n et ça sort tout de suite. Il faut juste approximer en disant que sin(n*pi/L x) vaut environ sin(n*pi/L a) (cette approximation était donné).
A la fin, l'examinateur m'a demandé des résultats plus physique : à quoi ça sert de supprimer des harmoniques ? Je lui ai dit qu'en musique on cherche à éliminer les harmoniques dissonantes comme la 7ème. Et l'oral s'est arrêté là !